Notación científica

¿Qué es la notación científica?
La notación científica (o notación índice estándar) es un modo de representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante en paises de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos manejar con más facilidad.
Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.

Escritura
10 a la 0 = 1
10 a la 1 = 10
10 a la 2 = 100
10 a la 3 = 1 000
10 a la 4 = 10 000
10 a la 5 = 100 000
10 a la 6 = 1 000 000
10 a la 9 = 1 000 000 000
10 a la 10 = 10 000 000 000
10 a la 20 = 100 000 000 000 000 000 000
10 a la 30 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Usos
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6·1026m y la masa de un protón es ~1,67·10-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.
La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida sin malgastar espacio.
La notación científica también evita diferencias regionales de denominación, notablemente el término inglés billion que puede dar lugar a equivocaciones.
Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,000312459 = 3,12459E-4.

Historia
El primer intento de representar números demasiados extensos fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos). A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales a través del coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Operaciones con notación científica
Adición
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):
Ejemplo: 5·106
Para sumar (o restar) dos números (o mas) primero y principal debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez, para esto multiplicamos por diez tantas veces como sea necesario el coeficiente a reducir el exponente. Luego buscamos como factor común las potencia de base diez de igual exponente. Por ultimo se opera. De esta manera se obtiene el resultado de la adición o la sustracción.
Ejemplo:
2 · 104 + 3 ·105
2 · 104 + 3 · 104 · 101
104 · (2 + 3 · 101)
32 · 104

Multiplicación
Se multiplican los coeficientes y se suman a la ves los exponentes:
Ejemplo: (4·105)·(2·107) = 8·1012

División
Se dividen las mantisas y se restan los exponentes (numerador_denominador):
Ejemplo: (4·1012)/(2·105) =2·107

Potenciación
Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:
Ejemplo: (3·106)2 = 9·1012

Radicación
Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz.

Vectores

¿Qué es un vector?

Un vector físico es una magnitud física caracterizable mediante un módulo, una dirección y un sentido, o alternativamente por un número de componentes independientes tales que las componentes medidas por diferentes observadores son relacionables de manera sistemática.

Elementos de un vector
Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las tres características mencionadas anteriormente:
Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector.
Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.
Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.
Matemáticamente hablando, un vector no puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales, como sí es posible hacerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Ejemplos:
La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades. Si éstas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:
De 10 km, si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido.
De 70 km, si salen en la misma dirección y sentidos contrarios.
De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.
Como se puede ver, la distancia recorrida depende también de otras cualidades, además de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que además de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su dirección y sentido.

Representación gráfica
Se representa como un segmento con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación
En física las variables escalares se representan con una letra: a, x, p, etc., y los vectores con una flecha encima: a,x,p , representándose también frecuentemente mediante letras en negrita: . Además de estas convenciones los vectores unitarios cuyo módulo es igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo u, v.

Suma de vectores

Metodo del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.
Metodo del triangulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Resta de vectores
Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (-V).
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.